Apertia · ライブラリ
近接撮影での物体距離と像距離
u² − d·u + d·f = 0で距離の分け方を点検します。d = 1000 mm、f = 100 mmでは解はu = 887.298 mmとv = 112.702 mmで、u × v = d × fとなります。
一つの二次方程式で二つの距離が求まる
d = u + vと薄レンズの式1/u + 1/v = 1/fを組み合わせると、u² − d·u + d·f = 0が得られます。その二つの解がuとvそのものです。二つを足すとd、掛けるとd × fになります。Apertiaは大きい方の解、u = (d + √(d² − 4df)) ÷ 2を物体距離とし、小さい方を像距離として使うため、被写体は常に等倍の点より遠い側にあります。
ここから、上の表のどの行にも使える三つの確認が得られます。u + vがdに戻ること、u × vがd × fに等しいこと、1/u + 1/vが1/fに等しいことです。一つだけが合わずにほかが合う場合、最も考えられる原因は、保存された数値ではなく表示から写した丸めた値を使ったことです。
入力値 · 被写界深度
| 行 | 入力値 |
|---|---|
| d (mm) | 400 |
| 焦点距離 | 100 |
結果 · 被写界深度
| 行 | 結果 |
|---|---|
| d (mm) | 400 |
| 焦点距離 | 100 |
| u (mm) | 200 |
| v (mm) | 200 |
| u + v − d (mm) | 0 |
| 1/u + 1/v − 1/f (mm⁻¹) | 0 |
| 薄レンズによる像の倍率 | 1 |
入力値 · 被写界深度
| 行 | 入力値 |
|---|---|
| d (mm) | 1000 |
| 焦点距離 | 100 |
結果 · 被写界深度
| 行 | 結果 |
|---|---|
| d (mm) | 1000 |
| 焦点距離 | 100 |
| u (mm) | 887.298335 |
| v (mm) | 112.701665 |
| u + v − d (mm) | 0 |
| 1/u + 1/v − 1/f (mm⁻¹) | -0 |
| 薄レンズによる像の倍率 | 0.127017 |
入力値 · 被写界深度
| 行 | 入力値 |
|---|---|
| d (mm) | 3000 |
| 焦点距離 | 100 |
結果 · 被写界深度
| 行 | 結果 |
|---|---|
| d (mm) | 3000 |
| 焦点距離 | 100 |
| u (mm) | 2896.424004 |
| v (mm) | 103.575996 |
| u + v − d (mm) | 0 |
| 1/u + 1/v − 1/f (mm⁻¹) | 0 |
| 薄レンズによる像の倍率 | 0.03576 |
一行を手で点検する
- 行からdとfを取り、判別式d² − 4dfを計算します。
- その平方根を取り、(d + 平方根) ÷ 2と(d − 平方根) ÷ 2を作ります。
- これらが表のuとvに一致するかを確かめます。
- uにvを掛け、d × fと比べます。
- 丸めていない値を使って1/uと1/vを足し、1/fと比べます。
計算例：d = 1000 mm、f = 100 mm
判別式は1000000 − 400000 = 600000で、その平方根は774.596669です。解は(1000 + 774.596669) ÷ 2 = 887.298335 mmと(1000 − 774.596669) ÷ 2 = 112.701665 mmです。その積は100000でd × fに等しく、1/887.298335 + 1/112.701665 = 0.01 = 1/100となります。d = 3000 mmの行では判別式は7800000、その平方根は2792.848009で、表の2896.424004 mmと103.575996 mmが得られます。
- d² − 4df
- 600000
- √(d² − 4df)
- 774.596669
- u × v
- 100000
- 1/u + 1/v
- 0.01 mm⁻¹
よくある間違い
- 小さい方の解を物体距離とすること。これは被写体がレンズのすぐ近くにある、鏡映しの配置を表します。
- 小数第六位までの表示値で1/u + 1/vを確かめ、わずかな残差をモデルの誤りとみなすこと。
- 4fより小さいdを使うこと。判別式が負になり、実数の解は存在しません。
点検の範囲
これらの確認が示すのは、モデルの数値が内部で矛盾していないということです。実際のレンズの主点の位置を突き止めたり、距離目盛りを校正したりするものではありません。下にリンクした被写界深度の計算ツールは、入力したすべての距離に同じ分け方を当てはめます。